解析几何 二级结论

直线

直线的夹角

1. 倒角公式：tan⁡θ=|tan⁡(β−α)|=|tan⁡β−tan⁡α1+tan⁡β⋅tan⁡α|=|k2−k11+k2⋅k1|\tan\theta=|\tan(\beta-\alpha)|=|\cfrac{\tan\beta-\tan\alpha}{1+\tan\beta\cdot\tan\alpha}|=|\cfrac{k_2-k_1}{1+k_2\cdot k_1}|
2. 利用直线的方向向量算夹角
   1. 斜率与方向向量的关系：当直线 ll 的斜率为 kk 时，ll 的一个方向向量为 m=(L,k)m=(L,k) ；当直线 ll 的斜率不存在时， ll 的一个方向向量为 m=(0,1)m=(0,1) .
   2. 计算两直线的夹角余弦：设直线 l1l_1 的一个方向向量为 mm ，直线 l2l_2 的一个方向向量为 nn ， l1l_1 与 l2l_2 的夹角为 θ\theta ，则 cos⁡θ=|cos⁡α<m,n>|=|m⋅n||m|⋅|n|\cos\theta=|\cos\alpha<m,n>| = \cfrac{|m\cdot n|} {| m | \cdot |n| } .

直线相关的对称问题

1. 点关于直线对称：欲求点 AA 关于直线 ll 的对称点 A′A’ ，可设 A′(a,b)A’(a,b) ，用 AA′⊥lAA’⊥l 和 AA′AA’ 的中点在直线 ll 上来建立方程组求解 aa 和 bb .

   特殊情况：当 ll 的斜率是 ±1\pm1 时，可直接由 ll 的方程分别将 x,yx,y 反解出来，再将点 AA 的坐标分别代入即可求得 A′A’ 的坐标

   如：点 A(1,2)A(1,2) 关于直线 l:x+y−2=0l:x+y-2=0 的对称点 A′A’ ，求 A′A’

   x+y−2=0(k=−1){x=2−yA→y=0y=2−xA→x=1⇒A′(0,1)x+y-2=0(k=-1)\begin{cases} x=2-y_A\rightarrow y=0\\ y=2-x_A\rightarrow x=1 \end{cases}\Rightarrow A’(0,1)

2. 直线与直线对称:倾斜角互补的 4 种不同说法（斜率和为0）

   1. 直线 a 和 a ^ { \prime } 关于水平线 l 对称（或者说 l 为角平分线）

   2. 直线 a 和 a ^ { \prime } 关于竖直线 l 对称（或者说 l 为角平分线）

   3. 直线 a 和 a ^ { \prime } 与 x 轴围出底角在 x 轴上的等腰三角形

   4. 直线 a 和 a ^ { \prime } 与 y 轴围出底角在 y 轴上的等腰三角形

   

圆

参数方程

设圆 C: \left( x - a \right) ^ { 2 } + \left( y - b \right) ^ { 2 } = r ^ { 2 } \left( r > 0 \right) ,则对于圆 C 上的动点 P \left( x , y \right) ，其横纵坐标满足 \begin{cases} x=a+r\cos\theta\\ y=b+r\sin\theta \end{cases}\\ . 故 P 坐标可设为 (a+r \cos\theta , b+r\sin\theta ) （这种设法中的几何意义可参考下图），涉及圆上动点的最值问题，可考虑用三角换元将求最值的目标表示成关于 θ 的三角函数来分析.

隐圆问题：圆的三大定义

1. 定长对定点：平面上到定点 C(a,b) 的距离等于定长 r 的点 P 的轨迹是圆，如图 1.

2. 定长对定角：

   1. 平面上过两定点 A 和 B 的直线 l_1、l_2 互相垂直，则它们交点 P 的轨迹为圆，如图 2.
   2. 平面上与两定点 A 和 B 所成视角为固定锐角或钝角的点的轨迹为一段圆弧，如图 3.

3. 定长对定比（阿氏圆）：设 A 和 B 是平面内两定点，若点 P 满足\cfrac{|PA|}{|PB|}=\lambda(\lambda>0\&\lambda\not=1)，则点 P 的轨迹是圆，该圆被称为阿氏圆，如图 4.

二次曲线共有结论

切线与切点弦改一半法则（极点极线）

改半法则\begin{cases} x^2\rightarrow x_0x\\ y^2\rightarrow y_0y\\ x\rightarrow \cfrac{x_0+x}{2}\\ y\rightarrow \cfrac{y_0+y}{2}\\ (x-a)^2\rightarrow (x_0-a)(x-a)\\ (y-b)^2\rightarrow (y_0-b)(y-b)\\ \end{cases}

当点 P(x_0,y_0) 在二次曲线上可改出切线或切点弦方程

1. 圆

   1. 曲线方程：x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + A x + B y + C = 0
   2. 切线/切点弦方程：x_0x+y_0y+\cfrac{A}{2}(x_0+x)+\cfrac{B}{2}(y_0+y)+C=0

2. 椭圆

   1. 曲线方程：\cfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \cfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1
   2. 切线/切点弦方程：\cfrac { x _ { 0 } x } { a ^ { 2 } } + \cfrac { y _ { 0 } y } { b ^ { 2 } } = 1

3. 双曲线

   1. 曲线方程：\cfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \cfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1
   2. 切线/切点弦方程：\cfrac { x _ { 0 } x } { a ^ { 2 } } - \cfrac { y _ { 0 } y } { b ^ { 2 } } = 1

4. 抛物线

   1. 曲线方程：y^2=2px
   2. 切线/切点弦方程：y_0y=p(x_0+x)

大题运用示例（以椭圆为例）

1. 书写：设 P(x_0,y_0) 的切线斜率为 k ，切线 l:y-y_0=k(x-x_0)
2. 书写：联立椭圆方程：\begin{cases}y-y_0=k(x-x_0)\\\cfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \cfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1\end{cases}
3. 由上述技巧可推：\cfrac { x _ { 0 } x } { a ^ { 2 } } + \cfrac { y _ { 0 } y } { b ^ { 2 } } = 1\Rightarrow y=\cfrac{b^2}{y_0}-\cfrac{b^2x_0}{y_0a^2}x
4. 书写：令 \Delta=0 ，解得 k=-\cfrac{b^2x_0}{y_0a^2}

三大曲线的第二定义

\cfrac{PF}{PP’}=e\begin{cases}椭圆:e=\cfrac{c}{a}∈(0,1)\\双曲线:e=\cfrac{c}{a}∈(1,+∞)\\抛物线:e=1\end{cases}

运用——焦半径公式

椭圆：PF=a-ex_0;PF_1=a+ex_0

双曲线：|PF_1|=ex_0+a;|PF_2|=ex_0-a;|QF_1|=-ex_0-a;|QF_2|=-ex_0+a

抛物线：PF=PP’=x_0+\cfrac{p}{2}

椭圆双曲线焦半径

椭圆 \cfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \cfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 \left( a > b > 0 \right)的左、右焦点分别为 F _ { 1 } 、 F _ { 2 } ，点 P \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right) 为椭圆上任意一点，则椭圆的焦半径 | P F _ { 1 } | 和 | P F _ { 2 } | 可按下面的公式计算（当 P 位于 x 轴下方时，将下述焦半径公式中的 \alpha、\beta 上加 \pi 即可）

1. |P F _ { 1 } | = a + e x _ { 0 } = \cfrac { b ^ { 2 } } { a - c \cos \alpha }
2. |P F _ { 2 } | = a - e x _ { 0 } = \cfrac { b ^ { 2 } } { a + c \cos \beta }
3. | P Q | = \cfrac { 2 a b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } - c ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \alpha }

推导：

\begin{alignat*}{6} |PF| &= \sqrt{(x_0 + c)^2 + y_{0}^2} \\ &= \sqrt{x_0^2 + 2cx_{0} + c^2 + y_{0}^2} \\ &= \sqrt{x_0^2 + 2cx_{0} + c^2 + b^2\left(1-\cfrac{x_0^2}{a^2}\right)} \\ &= \sqrt{\cfrac{c^2}{a^2}x_0^2 + 2cx_{0} + a^2} \\ &= \sqrt{\left(\cfrac{c}{a}x_0+a\right)^2} \\ &= a+ex_0 \\ \end{alignat*}

双曲线焦半径公式

1. |P F _ { 1 } | = |a + e x _ { 0 }|
2. |P F _ { 2 } | = |a - e x _ { 0 }|

焦半径的倒数和结论

涉及焦点弦焦半径长度问题时用

过焦点 F 且不平行于坐标轴的弦为 AB，则 \cfrac{1}{AF}+\cfrac{1}{BF}=\cfrac{4}{L} （ L 为通径长度）

第三定义与点差斜率积结论（垂径定理）

1. 椭圆：

   1. 第三定义结论：关于原点对称的 A、B满足 k_{PA}\cdot k_{PB}=-\cfrac{b^2}{a^2}

   2. 点差法结论： k_{PA}\cdot k_{OG}=-\cfrac{b^2}{a^2}

2. 双曲线：

   1. 第三定义结论：关于原点对称的 A、B满足 k_{PA}\cdot k_{PB}=\cfrac{b^2}{a^2}

   2. 点差法结论： k_{PA}\cdot k_{OG}=\cfrac{b^2}{a^2}

      

3. 抛物线的弦中点结论

   C : y ^ { 2 } = 2 p x \left( p > 0 \right)中的结论有 k = \cfrac { p } { y _ { 0 } } \left( y _ { 0 } \ne 0 \right)

   k_{AB}=\cfrac { y _ { 1 }- y _ { 2 } } { \cfrac { y_1^2 } { 2p }-\cfrac { y_2^2 } { 2p } } = \cfrac { 2 p } { y _ { 1 } + y _ { 2 } } = \cfrac { p } { y _ { 0 } } → y _ { 0 } \cdot k _ { A B } = p

椭圆双曲线 焦点三角形

作用：实现坐标与顶角及面积之间的互相转化

1. 椭圆：S_{PF_1F_2}=c\cdot|y_P|=b^2\tan\cfrac{\theta}{2}=(a+c)\cdot r
2. 双曲线：S_{PF_1F_2}=c|y_P|=\cfrac{b^2}{\tan\cfrac{\theta}{2}}

椭圆、双曲线的距离问题

1. 椭圆
   1. 椭圆上一点到原点的距离：[b,a]
   2. 椭圆上一点到焦点的距离：[a-c,a+c]
2. 双曲线
   1. 双曲线上一点到原点的距离：[a,+\infty)
   2. 焦点到渐进线的距离：b

椭圆、双曲线、抛物线的光学性质

1. 椭圆：与 P 处切线垂直的法线为 ∠ F_1PF_2 的角平分线
2. 双曲线： P 处的切线即为 ∠ F_1PF_2 的角平分线
3. 抛物线：与 P 处切线垂直的法线与 x 轴平行

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